13 运动的真面目（下）
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“我觉得这很奇怪，而且……有点玄……”我一时还无法理解为什么会这样。
“我们昨天不是刚刚讨论了速度的定义吗？速度是一段相互对应的空间段和时间段的比值，仔细想想速度的这个定义和空间位置点的关系，你就可以想明白的。”
经米西雅这么提示以后，我想起了速度的定义使得对速度的测量无法固定在一个时间或空间点上，一旦要获得瞬时速度，就一定会导致零除以零的结果，于是也就不可能知道这个时间点上的速度究竟是多少了。因为时间轴上的点在空间中对应的也应该是点，所以要求运动物体在某个准确的空间位置上的准确速度同样是不可能的。这就是米西雅说的，只要物体的位置测得越精确，速度就越不准确的原因吧？
“你思考得完全正确，位置的准确度与速度的准确度是一对矛盾，这是由速度的定义和物体的时空坐标对应关系决定的，没有任何神秘之处。”米西雅说。
“可是，我还是想不明白，为什么对速度的测量结果越准确就会使位置越不准确？”
“我们先从最简单的情况开始分析吧。”米西雅开始继续讲下去，“最准确的速度是什么速度呢？”
“这……”我头脑中一片空白。
“好吧，如果我让你算一个物体在两地之间运动到某个位置处的速度，先告诉你这个物体是做匀速运动的，你一定会觉得这道题做起来很愉快吧？”
“是的，因为匀速运动很简单呀，只要一用除法马上就得到了。”
“这说明，匀速运动的速度是一种最准确的速度。因为这种速度与物体所在的时刻无关，与物体到达的位置也无关，始终是一个确定不变的常数，任何非匀速运动的速度都不可能这么准确吧？只要物体在作匀速运动，无论什么时候，无论它到了哪里，它的瞬时速度就等于平均速度，所以你会觉得计算匀速运动的物体速度很简单。”
“嗯，是这样，可是这跟我的问题有什么关系呢？”
“关系就是，匀速运动的速度虽然是最准确的速度，但是，如果我们只知道这个物体的速度，却不可能知道它这时在哪里。因为匀速运动的物体无论在哪里的速度都是一样的，与空间和时间都无关，我们不能由速度值来获取任何关于物体位置的信息，所以它可以在它可能到达的任何位置！这不就是说，这个物体的位置完全不确定吗？”
“哇，果然……”我这才明白，原来在位置和速度的矛盾中，我弄不明白的问题只是一层薄薄的窗户纸，米西雅这一句话就把它捅破了。
“现在，你是不是觉得这个问题很简单了？可是在你曾经呆过的那个世界里，人类几千年来一直没有注意到这个问题，虽然不排除有人发现过它，但大家却毫不在意，觉得这根本不会影响什么。直到20世纪初，有几个科学家才发现在微观世界里，不考虑这个矛盾是绝对不行的，他们把这个矛盾命名为‘不确定关系’，然后，在这个基础上建立了一种研究微观世界的最有效的物理理论——量子力学。”
“咦，这是为什么呢？”我又来了兴趣。
“因为在宏观世界里，人们对物体的位置和速度进行测量时达不到可以使这个矛盾显现的精度，也不需要有那么高的精度。而在微观世界，时空的尺度之小，足以使这个矛盾对测量结果造成巨大的影响。刚才我就向你解释并演示过微观到宏观的一种过渡，现在你应该可以理解微观世界与宏观世界的这种差异吧？”
“嗯，你讲过微观世界是不连续的。”
“对，刚才我们分析位置和速度的‘不确定关系’时，并没考虑时空连不连续，而是在宏观层次上的连续时空中讨论的。虽然我们可以在逻辑上很简单就证明物体的位置和速度具有其中一个越精确，另一个一定越不准确，反之亦然的关系，但是只能定性地得出这个结果。要想知道对位置的测量精度达到多高时，速度的误差会达到多大，必须利用时空的自然单位值。不过，这个定量的分析对你现在来说比较难，因为需要用到的数学知识有点复杂呢。”
“但是我真的很想知道，你可以讲讲吗？”我猜米西雅说的定量分析一定是非常重要的东西。
“我不是不想告诉你，而是怕你现在还听不懂。”米西雅显出有点为难的表情，“不过我很喜欢你的求知欲，既然你这么想知道，那我就试试尽量不用复杂的数学把这个问题讲给你听吧。”
米西雅又启动了第三只眼睛的投影，“首先，既然空间和时间都有不可分割的最小自然单位，那么对位置的测量就不可能无限精确，空间的自然单位值1.6162×10^-35米是永远不可消除的最小误差。同样，对时间的测量也不可能无限精确，最理想的测量误差就是0.5391×10^-43秒。也就是说，在不连续的时空里，即使单独测量位置和时间，结果也是不可能绝对精确的，这点你能明白吧？”
“嗯，请接着讲。”我点点头。
“好，现在我们以一个速度是1/3光速的运动物体为例，来看看它的位置和速度有怎样的关系。”米西雅在她的第三只眼睛投映出的位置-时间离散坐标图上画出了表示1/3光速的像素直线——在x轴方向每涂亮三个格子后，在y轴方向上升一格然后再涂亮三个格子。
“我们在这条线上任取一点，显然这点是一个格子，因为1.6162×10^-35米就已经是测量空间长度时可能达到的极限精度了，所以如果对物体的位置测量达到了这个精度，就可以认为已经把物体的位置完全测准了。但是，我们来看看在这个点上的时间——仍然是一个格子，这个大小是0.5391×10^-43秒的格子是不可再分割的，所以等于宏观世界的一个时刻点。看来在离散的时空中只有一个位置点和一个时刻点仍然无法直接得出速度，这和连续时空的情况是一样的。那么我们就不得不在图上再选一个点，利用这两点之间的位置差和时间差才能定义速度。为了让位置的不确定度尽量不增加太多，我们只能选和这个点相邻的另一点，这样带来的位置不确定度就只有这两点所在的格子中心之间的距离——1.6162×10^-35米。但这时我们有两种选择，一种是选最初那个点后面的一点，一种是选它的前面一点。”
米西雅把线条上任选的那个格子用另一种颜色涂亮，又把它前后相邻的两个格子也用不同的颜色涂亮。“为了方便讲解，我给这三个格子各取一个名字：最先任选的这个格子叫点O，它前面的相邻格子叫点A，后面的相邻格子叫点B。现在我们先看看从点A到点O，在表示时间的x轴上看是时间坐标不同的两个格子，它们之间的时间坐标变化量是它们中心之间的距离——0.5391×10^-43秒，表示从A到O时间流逝了一个时间的自然单位。但是点A和点O在表示位置的y轴上有相同的坐标，它们的位置坐标变化量是零，表示从A到O物体仍在同一个位置，于是我们就可以知道物体从点A到点O的速度是零。然后再看看从点O到点B，点B在表示位置的y轴上上升了一格，它和点O的位置坐标不再一样，发生了一个空间自然单位的变化——1.6162×10^-35米，同时它在表示时间的x轴上与点O的坐标差值仍是一个时间自然单位，这说明在O和B之间，物体在0.5391×10^-43秒的时间里位置变化了1.6162×10^-35米，速度是光速！我不是告诉过你，在微观时空中，任何物体的运动实际上是要么以光速跳跃，要么原地不动吗？以上这些分析其实就是把这个结论具体化了一点，结果我们发现，如果对物体位置的测量误差降低到1.6162×10^-35米这个无法再小的值的同时，测到的这个物体运动速度只能要么是零，要么是光速，不可能得到宏观中介于零到光速之间的任何确定的速度值。”
“确实不太容易理解，但也不像我最开始想象的那么难。”我挠了挠头发，“按照你讲的这些，也就是说，如果对位置的测量精度达到了1.6162×10^-35米，对速度的测量误差就会达到零到光速这么大的范围吧？”
“差不多是这样，但更准确地说应该是对位置的测量达到这种精度时根本就已经没有办法测量速度了。”米西雅补充道，“如果你能理解这些，那么接下来，在离散时空中对速度的测量精确到什么程度，对位置的测量误差就会大到什么程度也是可以听明白的。”
“真的吗？可是我想先把你刚才讲的这些慢慢消化一下。”
“真的很简单，只需要几句话就能讲明白，然后你可以一起消化。”米西雅笑嘻嘻地说，“如果你实在需要休息一下，我也不勉强你。”
“那我就把所有问题都一起弄明白吧。”米西雅让我又打起了精神。
“你已经知道在宏观的连续时空里，最准确的速度就是匀速运动的速度，是不是？在离散的微观时空里也是这样，但由于这时物体的‘瞬时’速度只能要么是零，要么是光速，要得到大于零小于光速的任意宏观速度，物体的微观速度就必须周期性地起伏，所以在极小的时空范围内就不是匀速运动了。怎么才能在离散的微观时空下得到最准确的速度呢？这时我们就不得不测量一段时间内的平均速度，而且这段时间还要满足一个条件，就是必须大于或等于微观速度的一个起伏周期，而且必须是这个周期的整数倍。只有这样，测出的速度值才能等于宏观中匀速运动的平均速度。但这样一来，物体就在我们测量速度的这段时间内移动了一段距离，位置就不准确了，当然，如果仅仅只是这样，这个位置的误差在宏观中看起来仍然小得可以忽略。问题的关键是这个物体在宏观上是作匀速运动的，那么它在微观时空下的速度起伏就有无数个一模一样的周期，如果我们关注并测量的是速度，那么在任何位置开始测量都可以得到完全一样的结果，就不可能知道测量的周期究竟是表示速度的这条线上的第几个到第几个周期，所以也就得不到任何关于位置的信息了，这个物体可以在它运动路径上的任何位置。说得更具体一点就是，假如这个物体从A点出发，沿着路径L匀速移动到达B点，当我们知道它的准确速度时，它的位置可以在路径L上的任何一点，也就是说，这时我们获得的这个物体的位置信息的误差大小可以达到它的整个运动路程AB那么大！”米西雅一边显示动画投影，一边一口气讲完。
“我觉得理解起来也不像想象的那么容易呢。”
“所以这次留给你的作业就是好好消化这些东西。因为今天讲的知识理解起来需要多转几个弯，明天我暂时不讲新的内容，如果你觉得消化不良的话，随时可以提问。”
____________________________________________________________
实际上，要严格地解释为什么“速度越准确，位置就越不准确”这个问题需要用到微积分的知识。如果能够知道位置s随时间t变化的函数s（t），把这个函数对它的变量t求导数，就可以得到速度v随时间t变化的函数v（t），即v（t）=ds（t）/dt。这时把某个t的具体值tx代入v（t），就得到了tx这个“时刻”的“瞬时”速度准确值v（tx）（参看导数的定义）。但是，如果在位置的函数s（t）上加上一个任意大小的常数C即s（t）+C，则因为常数C中不含t这个变量，把常数C对t求导的结果一定是零，即dC/dt=0，而求导数又是一种可以线性叠加的运算，即d（s（t）+C）/dt=ds（t）/dt+dC/dt，所以把s（t）+C对t求导的结果仍然是v（t），和ds（t）/dt的结果完全一样，自然代入tx得到的瞬时速度值也就不变。这就是说，当速度的值完全准确地算出来以后，是无法反过来确定这时的位置的，因为表示位置的函数s（t）可以加上一个任意大小的常数而不影响对速度的计算结果。
米西雅为了让一个没学过微积分的初中生在其知识范围内也能够理解这个问题，不得不采取了一种最简化的模型，只讨论了一种最简单的情况。
“我觉得这很奇怪，而且……有点玄……”我一时还无法理解为什么会这样。
“我们昨天不是刚刚讨论了速度的定义吗？速度是一段相互对应的空间段和时间段的比值，仔细想想速度的这个定义和空间位置点的关系，你就可以想明白的。”
经米西雅这么提示以后，我想起了速度的定义使得对速度的测量无法固定在一个时间或空间点上，一旦要获得瞬时速度，就一定会导致零除以零的结果，于是也就不可能知道这个时间点上的速度究竟是多少了。因为时间轴上的点在空间中对应的也应该是点，所以要求运动物体在某个准确的空间位置上的准确速度同样是不可能的。这就是米西雅说的，只要物体的位置测得越精确，速度就越不准确的原因吧？
“你思考得完全正确，位置的准确度与速度的准确度是一对矛盾，这是由速度的定义和物体的时空坐标对应关系决定的，没有任何神秘之处。”米西雅说。
“可是，我还是想不明白，为什么对速度的测量结果越准确就会使位置越不准确？”
“我们先从最简单的情况开始分析吧。”米西雅开始继续讲下去，“最准确的速度是什么速度呢？”
“这……”我头脑中一片空白。
“好吧，如果我让你算一个物体在两地之间运动到某个位置处的速度，先告诉你这个物体是做匀速运动的，你一定会觉得这道题做起来很愉快吧？”
“是的，因为匀速运动很简单呀，只要一用除法马上就得到了。”
“这说明，匀速运动的速度是一种最准确的速度。因为这种速度与物体所在的时刻无关，与物体到达的位置也无关，始终是一个确定不变的常数，任何非匀速运动的速度都不可能这么准确吧？只要物体在作匀速运动，无论什么时候，无论它到了哪里，它的瞬时速度就等于平均速度，所以你会觉得计算匀速运动的物体速度很简单。”
“嗯，是这样，可是这跟我的问题有什么关系呢？”
“关系就是，匀速运动的速度虽然是最准确的速度，但是，如果我们只知道这个物体的速度，却不可能知道它这时在哪里。因为匀速运动的物体无论在哪里的速度都是一样的，与空间和时间都无关，我们不能由速度值来获取任何关于物体位置的信息，所以它可以在它可能到达的任何位置！这不就是说，这个物体的位置完全不确定吗？”
“哇，果然……”我这才明白，原来在位置和速度的矛盾中，我弄不明白的问题只是一层薄薄的窗户纸，米西雅这一句话就把它捅破了。
“现在，你是不是觉得这个问题很简单了？可是在你曾经呆过的那个世界里，人类几千年来一直没有注意到这个问题，虽然不排除有人发现过它，但大家却毫不在意，觉得这根本不会影响什么。直到20世纪初，有几个科学家才发现在微观世界里，不考虑这个矛盾是绝对不行的，他们把这个矛盾命名为‘不确定关系’，然后，在这个基础上建立了一种研究微观世界的最有效的物理理论——量子力学。”
“咦，这是为什么呢？”我又来了兴趣。
“因为在宏观世界里，人们对物体的位置和速度进行测量时达不到可以使这个矛盾显现的精度，也不需要有那么高的精度。而在微观世界，时空的尺度之小，足以使这个矛盾对测量结果造成巨大的影响。刚才我就向你解释并演示过微观到宏观的一种过渡，现在你应该可以理解微观世界与宏观世界的这种差异吧？”
“嗯，你讲过微观世界是不连续的。”
“对，刚才我们分析位置和速度的‘不确定关系’时，并没考虑时空连不连续，而是在宏观层次上的连续时空中讨论的。虽然我们可以在逻辑上很简单就证明物体的位置和速度具有其中一个越精确，另一个一定越不准确，反之亦然的关系，但是只能定性地得出这个结果。要想知道对位置的测量精度达到多高时，速度的误差会达到多大，必须利用时空的自然单位值。不过，这个定量的分析对你现在来说比较难，因为需要用到的数学知识有点复杂呢。”
“但是我真的很想知道，你可以讲讲吗？”我猜米西雅说的定量分析一定是非常重要的东西。
“我不是不想告诉你，而是怕你现在还听不懂。”米西雅显出有点为难的表情，“不过我很喜欢你的求知欲，既然你这么想知道，那我就试试尽量不用复杂的数学把这个问题讲给你听吧。”
米西雅又启动了第三只眼睛的投影，“首先，既然空间和时间都有不可分割的最小自然单位，那么对位置的测量就不可能无限精确，空间的自然单位值1.6162×10^-35米是永远不可消除的最小误差。同样，对时间的测量也不可能无限精确，最理想的测量误差就是0.5391×10^-43秒。也就是说，在不连续的时空里，即使单独测量位置和时间，结果也是不可能绝对精确的，这点你能明白吧？”
“嗯，请接着讲。”我点点头。
“好，现在我们以一个速度是1/3光速的运动物体为例，来看看它的位置和速度有怎样的关系。”米西雅在她的第三只眼睛投映出的位置-时间离散坐标图上画出了表示1/3光速的像素直线——在x轴方向每涂亮三个格子后，在y轴方向上升一格然后再涂亮三个格子。
“我们在这条线上任取一点，显然这点是一个格子，因为1.6162×10^-35米就已经是测量空间长度时可能达到的极限精度了，所以如果对物体的位置测量达到了这个精度，就可以认为已经把物体的位置完全测准了。但是，我们来看看在这个点上的时间——仍然是一个格子，这个大小是0.5391×10^-43秒的格子是不可再分割的，所以等于宏观世界的一个时刻点。看来在离散的时空中只有一个位置点和一个时刻点仍然无法直接得出速度，这和连续时空的情况是一样的。那么我们就不得不在图上再选一个点，利用这两点之间的位置差和时间差才能定义速度。为了让位置的不确定度尽量不增加太多，我们只能选和这个点相邻的另一点，这样带来的位置不确定度就只有这两点所在的格子中心之间的距离——1.6162×10^-35米。但这时我们有两种选择，一种是选最初那个点后面的一点，一种是选它的前面一点。”
米西雅把线条上任选的那个格子用另一种颜色涂亮，又把它前后相邻的两个格子也用不同的颜色涂亮。“为了方便讲解，我给这三个格子各取一个名字：最先任选的这个格子叫点O，它前面的相邻格子叫点A，后面的相邻格子叫点B。现在我们先看看从点A到点O，在表示时间的x轴上看是时间坐标不同的两个格子，它们之间的时间坐标变化量是它们中心之间的距离——0.5391×10^-43秒，表示从A到O时间流逝了一个时间的自然单位。但是点A和点O在表示位置的y轴上有相同的坐标，它们的位置坐标变化量是零，表示从A到O物体仍在同一个位置，于是我们就可以知道物体从点A到点O的速度是零。然后再看看从点O到点B，点B在表示位置的y轴上上升了一格，它和点O的位置坐标不再一样，发生了一个空间自然单位的变化——1.6162×10^-35米，同时它在表示时间的x轴上与点O的坐标差值仍是一个时间自然单位，这说明在O和B之间，物体在0.5391×10^-43秒的时间里位置变化了1.6162×10^-35米，速度是光速！我不是告诉过你，在微观时空中，任何物体的运动实际上是要么以光速跳跃，要么原地不动吗？以上这些分析其实就是把这个结论具体化了一点，结果我们发现，如果对物体位置的测量误差降低到1.6162×10^-35米这个无法再小的值的同时，测到的这个物体运动速度只能要么是零，要么是光速，不可能得到宏观中介于零到光速之间的任何确定的速度值。”
“确实不太容易理解，但也不像我最开始想象的那么难。”我挠了挠头发，“按照你讲的这些，也就是说，如果对位置的测量精度达到了1.6162×10^-35米，对速度的测量误差就会达到零到光速这么大的范围吧？”
“差不多是这样，但更准确地说应该是对位置的测量达到这种精度时根本就已经没有办法测量速度了。”米西雅补充道，“如果你能理解这些，那么接下来，在离散时空中对速度的测量精确到什么程度，对位置的测量误差就会大到什么程度也是可以听明白的。”
“真的吗？可是我想先把你刚才讲的这些慢慢消化一下。”
“真的很简单，只需要几句话就能讲明白，然后你可以一起消化。”米西雅笑嘻嘻地说，“如果你实在需要休息一下，我也不勉强你。”
“那我就把所有问题都一起弄明白吧。”米西雅让我又打起了精神。
“你已经知道在宏观的连续时空里，最准确的速度就是匀速运动的速度，是不是？在离散的微观时空里也是这样，但由于这时物体的‘瞬时’速度只能要么是零，要么是光速，要得到大于零小于光速的任意宏观速度，物体的微观速度就必须周期性地起伏，所以在极小的时空范围内就不是匀速运动了。怎么才能在离散的微观时空下得到最准确的速度呢？这时我们就不得不测量一段时间内的平均速度，而且这段时间还要满足一个条件，就是必须大于或等于微观速度的一个起伏周期，而且必须是这个周期的整数倍。只有这样，测出的速度值才能等于宏观中匀速运动的平均速度。但这样一来，物体就在我们测量速度的这段时间内移动了一段距离，位置就不准确了，当然，如果仅仅只是这样，这个位置的误差在宏观中看起来仍然小得可以忽略。问题的关键是这个物体在宏观上是作匀速运动的，那么它在微观时空下的速度起伏就有无数个一模一样的周期，如果我们关注并测量的是速度，那么在任何位置开始测量都可以得到完全一样的结果，就不可能知道测量的周期究竟是表示速度的这条线上的第几个到第几个周期，所以也就得不到任何关于位置的信息了，这个物体可以在它运动路径上的任何位置。说得更具体一点就是，假如这个物体从A点出发，沿着路径L匀速移动到达B点，当我们知道它的准确速度时，它的位置可以在路径L上的任何一点，也就是说，这时我们获得的这个物体的位置信息的误差大小可以达到它的整个运动路程AB那么大！”米西雅一边显示动画投影，一边一口气讲完。
“我觉得理解起来也不像想象的那么容易呢。”
“所以这次留给你的作业就是好好消化这些东西。因为今天讲的知识理解起来需要多转几个弯，明天我暂时不讲新的内容，如果你觉得消化不良的话，随时可以提问。”
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实际上，要严格地解释为什么“速度越准确，位置就越不准确”这个问题需要用到微积分的知识。如果能够知道位置s随时间t变化的函数s（t），把这个函数对它的变量t求导数，就可以得到速度v随时间t变化的函数v（t），即v（t）=ds（t）/dt。这时把某个t的具体值tx代入v（t），就得到了tx这个“时刻”的“瞬时”速度准确值v（tx）（参看导数的定义）。但是，如果在位置的函数s（t）上加上一个任意大小的常数C即s（t）+C，则因为常数C中不含t这个变量，把常数C对t求导的结果一定是零，即dC/dt=0，而求导数又是一种可以线性叠加的运算，即d（s（t）+C）/dt=ds（t）/dt+dC/dt，所以把s（t）+C对t求导的结果仍然是v（t），和ds（t）/dt的结果完全一样，自然代入tx得到的瞬时速度值也就不变。这就是说，当速度的值完全准确地算出来以后，是无法反过来确定这时的位置的，因为表示位置的函数s（t）可以加上一个任意大小的常数而不影响对速度的计算结果。
米西雅为了让一个没学过微积分的初中生在其知识范围内也能够理解这个问题，不得不采取了一种最简化的模型，只讨论了一种最简单的情况。